Meissel-Lehmer算法

发表于 分类于 ，

引入

首先引入一个问题。LibreOJ 6235：令 $\pi(n)$ 为 $n$ 以内的质数个数，求 $\pi(n)$ $(1 \leq n \leq 10^{11})$。

当然你可能会说你有分段打表的做法。众所周知，$1 \leq l \leq r \leq 10^{12}$ 且 $0 \leq r - l \leq 10^6$ 时，$[l, r]$ 中质数个数有一个很 trivial 的类似 Eratosthenes 筛的 $O((r - l)\log \log \sqrt r)$ 的做法。在这个基础上把 $[1, 10^{11}]$ 分成 $10^4$ 段，每段在本地预处理一下，段外的部分再单独算。这样分段打表确实可以卡过去，但是我们有不那么生草的做法：洲阁筛 min_25筛 Meissel-Lehmer 算法可以在 $O(n^{\frac23})$ 的时间复杂度内计算 $\pi(n)$。

这个算法在算法竞赛选手之间并不怎么普及（所以想写这篇文章），可能是因为实现起来确实略微有点麻烦（尤其是对不能抄板子的 OI 选手来说？）。虽然说 Miller-Rabin 素性判断和 Pollard-Rho 质因数分解也很麻烦，但也面对的场景大概也多一些，相比之下 Meissel-Lehmer 算法在算法竞赛生涯中可能遇不到几次（？）。目前见到的相关题目只有 2016 ICPC 沈阳赛区网络赛 J 和 2020 毛营 Day5 I，更生草的是可以看到后者的官方题解就是分段打表……大概进一步印证了这个算法的冷门……？

原理

令 $p_1, p_2, \dots, p_m$ 为前 $m$ 个质数。定义 $\phi(n, m)$ 为 $[1, n]$ 内所有质因子都大于 $p_m$ 的数的个数，$P_k(n, m)$ 为 $[1, n]$ 内恰有 $k$ 个大于 $p_m$ 的质因子的数的个数。 特别地，令 $P_0(n, m) = 1$，则有

$$
\phi(n, m) = P_0(n, m) + P_1(n, m) + \dots + P_k(n, m) + \dots
$$

注意到 $p_m^k > n$ 时有 $P_k(n, m) = 0$，所以，如果我们取 $x \in [n^{\frac13}, n^{\frac12}]$ 并令 $m = \pi(x)$，对于任意 $k \geq 3$，都有 $P_k(n, m) = 0$。即，
$$
\phi(n, m) = P_0(n, m) + P_1(n, m) + P_2(n, m)
$$

根据定义，显然 $P_1(n, m) = \pi(n) - m$，于是我们对上式适当变换，得
$$
\pi(n) = \phi(n, m) - P_2(n, m) + m - 1
$$
接下来，我们只需要计算 $\phi(n, m)$ 和 $P_2(n, m)$。根据定义，不难得到其计算方式如下：
$$
P_2(n, m) = \sum_{x < p \leq \sqrt n} (\pi(\frac np) - \pi(p) + 1)
$$

$$
\phi(n, m) =
\begin{cases}
[n], & m = 0 \
\phi(n, m - 1) - \phi(\frac {n}{p_m}, m - 1), & m \geq 1
\end{cases}
$$

复杂度分析

$P_2(n, m)$

对于 $x < p \leq \sqrt n$，显然有 $\frac np < \frac nx < n^{\frac 23}$，为了快速计算 $P_2(n, m)$，我们可以用线性筛 $O(n^\frac 23)$ 预处理 $[1, n^{\frac 23}]$ 内的质数，然后 $O(n^\frac 12)$ 进行累加。时间复杂度 $O(n^\frac 23)$，空间复杂度 $O(n^\frac 23)$。

如果这个空间复杂度无法接受，我们可以时间换空间，少预处理一些，对于较大的询问则令 $\pi(n)$ 和 $P_2(n, m)$ 相互调用。那么时空复杂度是多少，究竟应该预处理多少呢？下面那份网上找的板子预处理的范围是 $5 \times 10^6$，并且认为可以降到 $n^\frac 13$，我暂且没算明白……

$\phi(n, m)$

更算不明白了……这式子看上去挺慢的，然而又可以大力预处理大力剪枝（见板子），总之实际跑起来完全没问题。但很想知道时间复杂度怎么算……

代码

这是网上可以大量找到的一个 Meissel-Lehmer 的板子（看码风也知道不是我写的），想自己整一个，但是我太懒了。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
const int N = 5e6 + 2;//通过知道前面的n^1/3的质数可以推断后面n^2/3的质数所以可以适当减小
bool np[N];
int prime[N], pi[N];
int getprime()
{
    int cnt = 0;
    np[0] = np[1] = true;
    pi[0] = pi[1] = 0;
    for(int i = 2; i < N; ++i)
    {
        if(!np[i]) prime[++cnt] = i;
        pi[i] = cnt;
        for(int j = 1; j <= cnt && i * prime[j] < N; ++j)
        {
            np[i * prime[j]] = true;
            if(i % prime[j] == 0)   break;
        }
    }
    return cnt;
}
const int M = 7;//为了减小内存可以不过是质数
const int PM = 2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 * 17;//为了减小内存可以不过要按质数减小如去掉17
int phi[PM + 1][M + 1], sz[M + 1];
void init()
{
    getprime();
    sz[0] = 1;
    for(int i = 0; i <= PM; ++i)  phi[i][0] = i;
    for(int i = 1; i <= M; ++i)
    {
        sz[i] = prime[i] * sz[i - 1];
        for(int j = 1; j <= PM; ++j) phi[j][i] = phi[j][i - 1] - phi[j / prime[i]][i - 1];
    }
}
int sqrt2(ll x)
{
    ll r = (ll)sqrt(x - 0.1);
    while(r * r <= x)   ++r;
    return int(r - 1);
}
int sqrt3(ll x)
{
    ll r = (ll)cbrt(x - 0.1);
    while(r * r * r <= x)   ++r;
    return int(r - 1);
}
ll getphi(ll x, int s)
{
    if(s == 0)  return x;
    if(s <= M)  return phi[x % sz[s]][s] + (x / sz[s]) * phi[sz[s]][s];
    if(x <= prime[s]*prime[s])   return pi[x] - s + 1;
    if(x <= prime[s]*prime[s]*prime[s] && x < N)
    {
        int s2x = pi[sqrt2(x)];
        ll ans = pi[x] - (s2x + s - 2) * (s2x - s + 1) / 2;
        for(int i = s + 1; i <= s2x; ++i) ans += pi[x / prime[i]];
        return ans;
    }
    return getphi(x, s - 1) - getphi(x / prime[s], s - 1);
}
ll getpi(ll x)
{
    if(x < N)   return pi[x];
    ll ans = getphi(x, pi[sqrt3(x)]) + pi[sqrt3(x)] - 1;
    for(int i = pi[sqrt3(x)] + 1, ed = pi[sqrt2(x)]; i <= ed; ++i) ans -= getpi(x / prime[i]) - i + 1;
    return ans;
}
ll lehmer_pi(ll x)
{
    if(x < N)   return pi[x];
    int a = (int)lehmer_pi(sqrt2(sqrt2(x)));
    int b = (int)lehmer_pi(sqrt2(x));
    int c = (int)lehmer_pi(sqrt3(x));
    ll sum = getphi(x, a) +(ll)(b + a - 2) * (b - a + 1) / 2;
    for (int i = a + 1; i <= b; i++)
    {
        ll w = x / prime[i];
        sum -= lehmer_pi(w);
        if (i > c) continue;
        ll lim = lehmer_pi(sqrt2(w));
        for (int j = i; j <= lim; j++) sum -= lehmer_pi(w / prime[j]) - (j - 1);
    }
    return sum;
}

这个板子有一个比较有疑问的地方：有两个功能完全一样的函数 getpi 和 lehmer_pi。很显然 getpi 就是我们上面介绍的方法，但 lehmer_pi 写的内容我完全没懂……看起来是传说中（？）Deleglise 和 Rivat 提出的 $O(\frac{n^\frac 23}{\log^2 n})$ 的优化（有兴趣可以看这篇论文）。如果真的是的话，只能说这个优化的常数也太大了——测试了各种数据范围，结论是这个 lehmer_pi 跑起来比 getpi 还要慢一些……如果要抄这个板子的话，还是直接忽略最后一段吧……